FRACTALES, CHAOS ET CREATIVITE
Pour une meilleure compréhension de l’univers des fractales, visionner sur Youtube le film-documentaire d‘ARTE 2010 : « A la recherche de la dimension cachée »
Historique (*) : La Théorie du Chaos ou Le papillon d´Edward Lorenz
Edward Lorenz, professeur de mathématique au MIT (Massachusetts Institut of Technologie) est le père officiel de la théorie du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et l'ironie du sort a voulu qu'il découvre ce qui s'appellera plus tard la théorie du chaos par hasard, à la suite de calculs visant à prévoir les phénomènes météorologiques.
Ces prévisions nécessitaient un nombre très important de calculs. En effet les phénomènes météorologiques obéissent aux lois de Newton, aux trajectoires des corps, etc... Et donc au calcul d'équations différentielles très complexes du fait du nombre astronomique de variables entrant en jeu. Pour résoudre ces équations, Lorenz les a tout d'abord simplifiées au maximum, jusqu'à obtenir un système de trois équations avec trois inconnues, mais les calculs restaient impossibles à faire à la main. Il utilisa donc un ordinateur, un Royal McBee LGP-300 ; il ne faut pas oublier que nous sommes en 1961 et que les ordinateurs de l'époque étaient extrêmement volumineux, bruyants, lents, chauffaient énormément et qui plus est, étaient beaucoup moins fiables qu'aujourd'hui. Un beau jour, après plusieurs heures de calcul l'ordinateur retourna sous forme de colonnes de chiffres les résultats des équations, Lorenz décida alors de repasser une deuxième fois ces données dans l'ordinateur pour s'assurer des résultats. Mais au lieu d'entrer les variables à six chiffres après la virgule il décida de n'en garder que trois pour gagner du temps. Il pensait, comme beaucoup de mathématiciens à l'époque, qu'une faible variation dans les variables à la base d'un calcul aussi complexe aurait une incidence du même ordre de grandeur sur le résultat final. Et peut-être la chaleur dégagée par l'ordinateur y était-elle aussi pour quelque chose dans cette décision. Seulement voilà, lorsqu'il compara les deux séries de résultats, il crut tout d'abord à une erreur ou un disfonctionnement dans l'ordinateur, mais celui-ci fonctionnait parfaitement, et pourtant les résultats étaient totalement différents.
Il venait de découvrir le comportement chaotique d'un système non linéaire, à savoir que d'infimes différences dans les conditions initiales d'un système déterministe entraînaient des résultats complètement différents. On appellera plus tard cette théorie, la théorie du chaos. Ce nom, fut trouvé par le mathématicien Yorke, en 1975. Lorenz entreprit alors de représenter graphiquement la solution de son système au moyen de son ordinateur. Il vit alors apparaître sa deuxième découverte : les attracteurs. En effet, il traça la courbe d'évolution de son système météorologique avec deux jeux de valeurs initiales très proches, et comme il s'y attendait les trajectoires des deux courbes semblaient identiques au départ mais divergeaient de plus en plus. Par contre ce à quoi Lorenz ne s'attendait pas, c'est que les deux courbes soient plus ou moins identiques, pas point par point mais dans leur ensemble. Les deux courbes ressemblaient aux ailes déployées d'un papillon. Il avait beau recommencer l'expérience autant de fois qu'il le voulait, il obtenait toujours le même résultat.
Le physicien David Ruelle qui se pencha sur la question qualifia cette figure de « attracteur étrange ». Et pour être étranges, ils l'étaient et le sont toujours. Les trajectoires ne se coupent jamais, et pourtant semblent évoluer au hasard formant des sortes de boucles pas tout à fait concentriques, pas tout à fait sur le même plan, mais formant des figures indiscutablement reconnaissables.
Des années plus tard Mandelbrot découvrit la géométrie fractale et vit que l'attracteur de Lorenz en était une, comme la grande majorité des attracteurs étranges.
Pour mieux faire comprendre l'importance de cette sensibilité aux conditions initiales, Lorenz eut recours à une métaphore qui contribua au succès médiatique de la théorie du chaos : "le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas".
Ainsi une donnée infime, imperceptible, pouvait aboutir à une situation totalement différente de celle calculée sans tenir compte de cette donnée infime.
(*) Avec l´aimable autorisation de Loic Fontaine : http://just.loic.free.fr/index.php?page=accueil
Au début était la Spirale…Symbole de l´Harmonie
La spirale: élément récursif et inhérent à la Fractale
Extraits traduits de « Divine Proportion Phi in Art, Nature and Science » par Priya Hemenway.
La Spirale est une invention de la Nature particulièrement réussie.
La spirale est considérée comme l´un des éléments de construction le plus important de la nature. On la trouve partout : dans le ciel, dans l´eau, dans le vent. Observez avec attention les graines du tournesol, les pommes de pins, les cactus, les nautiles, les ammonites.
Les spirales sont partout ! Certaines sont tout de suite reconnaissables, le plus grand nombre ne l´est pas.
La spirale contient un des messages les plus dynamiques de la Nature. Elle naît d´une réconciliation des contraires. Son développement est toujours harmonieux, apparemment sans but. On la retrouve dans le plus petit embryon végétal ou animal/humain jusque dans la forme des plus grandes galaxies.
Elle est le chemin du juste milieu, celui de la moindre résistance donc le plus économique énergétiquement. Le chemin qui ne tire ni trop d´un coté ni de l´autre, celui qui trouve la bonne balance, celui de la perfection.
De nombreuses spirales ont été traduites en langage mathématique et furent l´objet de recherches et de descriptions très poussées .Les premières descriptions remontent à l´Antiquité et certaines autres bien avant.
Toutes les spirales ont un point commun. Elles se développent autour d´un centre fixe en s´en éloignant de façon régulière et harmonieuse.
La Spirale dans la nature s´éloigne de son centre de façon logarithmique. Son développement est si parfait qu´il se traduit dans le nombre d´Or. «Phi».
Car dans la spirale se retrouvent tous les mystères de l´Harmonie et de la Balance du «phi».
Son dessin est croissant ou décroissant. Il décrit la parfaite relation de l´ensemble, qui dit que le rapport de l´ensemble au plus grand morceau est le même que celui du grand morceau envers le petit.
La spirale est décrite par le Nombre d´Or ainsi nommé, parce que l´Homme le considère comme « créatif, ou même créateur, régénérateur et harmonieux. « Quoi qu´il tende vers l´infini, il ne l´atteindra jamais » Traduction:Yvette Krummel (2012)
«Le véritable voyage vers une découverte ne réside pas dans la recherche d´un nouveau monde mais dans le fait de voir différemment les choses» (traduit de l´Allemand selon Marcel Proust)
Victor Vasarely : « L’avenir se dessine avec la nouvelle cité géométrique polychrome et solaire. L’art plastique y sera cinétique, multidimensionnel et communautaire. Abstrait à coup sûr et rapproché des sciences ».
Le mot fractal est inventé en 1975 par le mathématicien Benoît Mandelbrot afin de décrire la complexité des structures et des courbes. Sans l´avènement de l´ordinateur et de sa capacité à effectuer d´innombrables calculs à la vitesse de la lumière, nous n´aurions peut-être jamais découvert toute la richesse des spirales.
La spirale d´Or : une invention de la Nature particulièrement réussie.
La spirale à longtemps été considérée comme un des éléments de construction le plus important de la nature.
On la trouve partout : Dans le ciel, dans l´eau dans le vent : Epluchez une salade ou observez avec attention les graines du tournesol, les pommes de pins, les cactus, les nautiles, les ammonites.
Les spirales sont partout ! Certaines sont tout de suite reconnaissables, le plus grand nombre ne l´est pas.
La spirale contient un des messages les plus dynamiques de la Nature. Elle naît / est le résultat de la réconciliation des contraires. Son développement est toujours harmonieux, apparemment sans but. On la retrouve dans le plus petit embryon végétal ou animal/humain jusque dans la forme des plus grandes galaxies.
Elle est le chemin du juste milieu, de celui de la moindre résistance donc le plus économique énergétiquement. Le chemin qui ne tire ni trop d´un coté ni de l´autre, celui qui trouve la bonne balance, celui de la perfection.
De nombreuses spirales ont été traduits en langage mathématique et furent l´objet de recherches et de descriptions très poussées .Les premières descriptions remontent à l´Antiquité et certaines autres bien avant.
Toutes les spirales ont un point commun. Elles se développent autour d´un centre fixe en s´en éloignant de façon régulière et harmonieuse.
- Ce que fait aussi l´enfant vis-à-vis de sa mère. Il y reste attaché par le chemin parcouru mais s'en éloigne irrévocablement.
La Spirale dans la nature s´éloigne de son centre de façon logarithmique. Son développement est si parfait qu´il se traduit dans le nombre d´Or « phi ».
Car dans la spirale se retrouve tous les mystères de l´harmonie et de la Balance du « phi ».
Son dessin croissant ou décroissant décrit la parfaite relation de l´ensemble qui dit que le rapport de l´ensemble au plus grand morceau est le même que celui du grand morceau envers le petit. (à mieux définir) »
La spirale est décrite par le Nombre d´Or ainsi nommé parce que l´Homme le considère comme « créatif (ou créateur ? », régénérateur et harmonieux. Quoiqu´il tende vers l´infini il ne l'atteindra jamais.
« La géométrie d´Euclide » traite d´une perfection abstraite qui ne se retrouve que rarement dans la Nature Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des triangles, les cotes ne sont pas des cercles et l´écorce des arbres pas plane, pas plus que la foudre ne tombe en ligne droite » extrait de Benoît Mandelbrot « La géométrie fractale dans la Nature »
Les créations artistiques de Bernd Preiss, uniquement basées sur les principes de la géométrie fractale ont pour but de faire découvrir, tel un peintre, un photographe, un compositeur visuel d'un autre genre, les plus belles visions de ces merveilleuses constructions.
Au début de chaque fractale est la Spirale.
Quand on imagine que la taille d´une fractale avoisine celle d´une galaxie et même bien davantage, on imagine facilement le temps nécessaire à sa création, la dextérité et les connaissances nécessaires de l´instrument « ordinateur » qui tel un piano afin de créer ces compositions qui resterons à jamais unique et inédites.
Imaginez un photographe qui, parti de la constellation d´« Andromède », Andromède située à 25 Millions d´années lumières de la terre chercherait sur la planète terre un champ de coquelicots et de bleuets de 50m2. Voilà la taille de la fractale retenue par l´artiste que vous avez devant vous.
Liste des livres & film sur le thème des Fractales
Film : ARTE 2010 : A la recherche de la dimension cachée – visible sur Youtube
Le monde des fractales : La géométrie cachée de la Nature. Jacques Dubois (2006)
La Géométrie de la Nature, n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire. Les formes ne se limitent pas à la description de lignes, de courbes, de surfaces ou de volumes s'articulant dans des espaces à deux ou trois dimensions, une géométrie inventée par Euclide. Savez-vous que les choux-fleurs, les ramifications des arbres, les réseaux des rivières, les bronches de nos poumons et de nombreux phénomènes, comme les séismes et les éruptions volcaniques, peuvent être décrits par une autre géométrie ? Cette nouvelle géométrie cachée de la nature, géométrie fractale, introduite en 1975 par le français Benoît Mandelbrot et développée par des spécialistes dans de nombreuses disciplines... D'où viennent ces structures fractales ? La nouvelle théorie de la relativité d'échelle de Laurent Nottale fournit une explication plausible, cohérente et démontre le pourquoi de leur universalité... Ce livre d'initiation a été écrit pour sensibiliser le grand public à cette nouvelle vision du monde naturel qui a des applications multiples, de l'univers aux mathématiques, à la physique, à la chimie, au vivant et à sa dimension évolutive, jusqu'à l'économie et aux arts...
Une nouvelle manière de voir le monde : La géométrie fractale
Le monde est mathématique, collection présentée par Cédric Villani
Les fractales HS n° 18 Bibliotheque Tangente, l´aventure mathématique
Un miroir turbulent guide illustré de la théorie du Chaos : John Briggs et David Peat
La symétrie du Chaos, à la recherche des liens entre mathématiques, art et Nature. Mike Field et Martin Golubitsky
Les formes de la Nature Peter S. Stevens
Le code secret. La formule mystérieuse qui régit les arts, la Nature et les sciences
Priya Hemenway 2008 (La spirale, le nombre d´or , Fibonacci.. etc..!)
Le Chaos sensible Theodor Schwenk (2005)
(Création de formes -fractales!- par les mouvements de l´eau et de l´air)
Par Benoît Mandelbrot, mathématicien « le père des fractales »
Les objets fractals, forme, hasard et dimensions
The fractal geometry of Nature
Bernd Preiss & Yvette Krummel
www.fractal-fineart.com
bepr@fractal-fineart.com
2015
